<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%%% Copyright (C) 2015-2024 Vincent Goulet
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%%% Attribution-Partage dans les mÃªmes conditions 4.0
%%% International de Creative Commons.
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\chapter{MathÃ©matiques}
\label{chap:math}


S'il est un domaine oÃ¹ {\LaTeX} brille particuliÃ¨rement, c'est bien
dans la prÃ©paration et la prÃ©sentation d'Ã©quations mathÃ©matiques ---
des plus simples aux plus complexes. AprÃ¨s tout, l'amÃ©lioration de la
qualitÃ© typographique des Ã©quations mathÃ©matiques dans son ouvrage
phare \emph{The Art of Computer Programming} figurait parmi les
objectifs premiers de Knuth lorsqu'il a dÃ©veloppÃ© {\TeX}. Aujourd'hui,
le langage dÃ©veloppÃ© par Knuth pour dÃ©crire les Ã©quations
mathÃ©matiques est devenu une sorte de standard \emph{de facto}.


\section{Principes de base du mode mathÃ©matique}
\label{sec:math:base}

La mise en forme d'Ã©quations mathÃ©matiques requiert d'indiquer Ã&nbsp;
l'ordinateur, dans un langage spÃ©cial, le contenu de celles-ci et la
position des symboles: en exposant, en indice, sous forme de fraction,
etc. L'ordinateur peut ensuite assembler le tout Ã&nbsp; partir de rÃ¨gles
typographiques portant, par exemple, sur la reprÃ©sentation des
variables et des constantes, l'espacement entre les symboles ou la
disposition des Ã©quations selon qu'elles apparaissent au fil du texte
ou hors d'un paragraphe.

On indique Ã&nbsp; {\LaTeX} que l'on change de Â«langageÂ», par l'utilisation
d'un mode mathÃ©matique. Il y a deux grandes maniÃ¨re d'activer le mode
mathÃ©matique:
\begin{enumerate}
\item en insÃ©rant le code entre les symboles \verb=$ $= pour gÃ©nÃ©rer
  une Ã©quation Â«en ligneÂ», ou au fil du texte;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
on sait que $(a + b)^2 =
a^2 + 2ab + b^2$, d'oÃ¹
on obtient...
\end{lstlisting}
      \producing
      on sait que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ d'oÃ¹ on obtient...
    \end{texample}
  \end{demo}
\item en utilisant un environnement servant Ã&nbsp; crÃ©er une Ã©quation hors
  paragraphe;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
on sait que
\begin{equation*}
  (a + b)^2
  = a^2 + 2ab + b^2,
\end{equation*}
d'oÃ¹ on obtient...
\end{lstlisting}
      \producing
      on sait que
      \begin{equation*}
        (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
      \end{equation*}
      d'oÃ¹ on obtient...
    \end{texample}
  \end{demo}
\end{enumerate}

Dans l'exemple ci-dessus, l'environnement \Pe{equation*} (tirÃ© du
paquetage \pkg{amsmath}, voir la section suivante) crÃ©e une
Ã©quation hors paragraphe, centrÃ©e sur la ligne et non numÃ©rotÃ©e. Avec
l'environnement \Ie{equation} (donc sans \verb=*= dans le nom),
{\LaTeX} ajoute automatiquement un numÃ©ro d'Ã©quation sÃ©quentiel alignÃ©
sur la marge de droite:
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
on sait que
\begin{equation}
  (a + b)^2 = a^2 + b^2,
\end{equation}
d'oÃ¹ on obtient...
\end{lstlisting}
    \producing
    on sait que
    \begin{equation}
      (a + b)^2 = a^2 + b^2,
    \end{equation}
    d'oÃ¹ on obtient...
  \end{texample}
\end{demo}
Cette disposition est la plus usuelle dans les ouvrages mathÃ©matiques.
Le type de numÃ©rotation diffÃ¨re selon qu'un document comporte des
chapitres ou non.

En mode mathÃ©matique, les chiffres sont automatiquement considÃ©rÃ©s
comme des constantes, les lettres comme des variables et une suite de
lettres comme un produit de variables (nous verrons plus loin comment
reprÃ©senter des fonctions mathÃ©matiques comme $\sin$, $\log$ ou
$\lim$). Ceci a trois consÃ©quences principales:
\begin{enumerate}
\item conformÃ©ment aux conventions typographiques, les chiffres sont
  reprÃ©sentÃ©s en caractÃ¨re \textrm{romain} et les variables, en
  italique;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$123xyz$
\end{lstlisting}
      \producing
      $123xyz$
    \end{texample}
  \end{demo}
\item l'espace entre les constantes, les variables et les opÃ©rateurs
  mathÃ©matiques est gÃ©rÃ© automatiquement;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$z = 2 x + 3 x y$
\end{lstlisting}
    \producing
    $z = 2 x + 3 x y$
    \end{texample}
  \end{demo}
\item les espaces dans le code source n'ont aucun impact sur la
  disposition d'une Ã©quation.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$z=2x + 3xy$
\end{lstlisting}
    \producing
    $z=2x + 3xy$
    \end{texample}
  \end{demo}
\end{enumerate}

Quant au langage retenu par {\LaTeX} pour dÃ©crire les Ã©quations
mathÃ©matiques, il est trÃ¨s similaire Ã&nbsp; celui que l'on utiliserait pour
le faire Ã&nbsp; voix haute. Il faut simplement recourir Ã&nbsp; des commandes
pour identifier les symboles mathÃ©matiques que l'on ne retrouve pas
sur un clavier usuel, comme les lettres grecques, les opÃ©rateurs
d'inÃ©galitÃ© ou les symboles de sommes et d'intÃ©grales.


\section{Un paquetage incontournable}
\label{sec:math:amsmath}

Le paquetage \pkg{amsmath} \citep{amsmath} produit par la
\emph{American Mathematical Society} fournit diverses extensions Ã&nbsp;
{\LaTeX} pour faciliter encore davantage la saisie d'Ã©quations
mathÃ©matiques complexes et en amÃ©liorer la prÃ©sentation. L'utilisation
de ce paquetage doit Ãªtre considÃ©rÃ©e incontournable pour tout document
contenant plus que quelques Ã©quations trÃ¨s simples.

Au chapitre des amÃ©liorations fournies par \pkg{amsmath}, notons
particuliÃ¨rement:
\begin{itemize}
\item plusieurs environnements pour les Ã©quations hors paragraphe, en
  particulier pour les Ã©quations multilignes;
\item une meilleure gestion de l'espacement autour des symboles de
  relation (comme les signes d'Ã©galitÃ©) dans les Ã©quations
  multilignes;
\item une commande pour faciliter l'entrÃ©e de texte Ã&nbsp; l'intÃ©rieur du
  mode mathÃ©matique;
\item un environnement pour la saisie des matrices et des coefficients
  binomiaux;
\item des commandes pour les intÃ©grales multiples;
\item la possibilitÃ© de dÃ©finir de nouveaux opÃ©rateurs mathÃ©matiques.
\end{itemize}
Je dÃ©cris certaines de ces fonctionnalitÃ©s dans la suite, mais tout
utilisateur du paquetage devrait impÃ©rativement consulter sa %
\doc[documentation complÃ¨te]{amsmath}{https://texdoc.net/pkg/amsmath}.


\section{Principaux Ã©lÃ©ments du mode mathÃ©matique}
\label{sec:math:bases}

Cette section explique comment crÃ©er et assembler divers Ã©lÃ©ments
d'une formule mathÃ©matique: exposants, indices, fractions, texte, etc.
Les seuls symboles utilisÃ©s sont pour le moment les chiffres et les
lettres latines. La prÃ©sentation d'une partie de l'Ã©ventail de
symboles mathÃ©matiques offerts par {\LaTeX} fera l'objet de la
\autoref{sec:math:symboles}.

\subsection{Exposants et indices}
\label{sec:math:bases:exposants}

{\LaTeX} permet de crÃ©er facilement et avec la bonne taille de
symboles n'importe quelle combinaison d'exposants et d'indices.

On place un caractÃ¨re en \textsuperscript{exposant} avec la
commande \cmd{^} et en \textsubscript{indice} avec la commande
\cmd{_}. Les indices et exposants se combinent naturellement.
\begin{demo}
  \def\strut{\rule[-0.4ex]{0pt}{2ex}}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
x^2
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x^2$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
a_n
\end{lstlisting}
      \producing\strut $a_n$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
x_i^k
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x_i^k$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}
(L'ordre de saisie n'a pas d'importance; le troisiÃ¨me exemple
donnerait le mÃªme rÃ©sultat avec \verb=x^k_i=.)

Si l'exposant ou l'indice compte plus d'un caractÃ¨re, il faut
regrouper le tout entre accolades \verb={ }=.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
x^{2k + 1}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x^{2k + 1}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
x_{i,j}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x_{i,j}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
x_{ij}^{2n}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x_{ij}^{2n}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}

Toutes les combinaisons d'exposants et d'indices sont possibles, y
compris les puissances de puissances ou les indices d'indices.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
e^{-x^2}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $e^{-x^2}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.6\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
A_{i_s, k^n}^{y_i}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $A_{i_s,k^n}^{y_i}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad \mbox{} % pour alignement avec bloc d'exemples ci-dessus
\end{demo}

\importantbox{Les commandes \cmd{^} et \cmd{_} sont permises dans le
  mode mathÃ©matique seulement. Si {\TeX} rencontre l'une de ces
  commandes en mode texte, il tente automatiquement de passer au
  mode mathÃ©matique aprÃ¨s avoir Ã©mis l'avertissement
  \begin{trivlist} \item\ttfamily
    ! Missing \$ inserted.
  \end{trivlist}
  Il est assez rare que le rÃ©sultat soit celui souhaitÃ©.}

\subsection{Fractions}
\label{sec:math:bases:fractions}

Il y a plusieurs faÃ§ons de reprÃ©senter une fraction selon qu'elle se
trouve au fil du texte, dans une Ã©quation hors paragraphe ou Ã&nbsp;
l'intÃ©rieur d'une autre fraction.

Pour les fractions au fil du texte, il vaut souvent mieux utiliser
simplement la barre oblique Â«\verb=/=Â» pour sÃ©parer le numÃ©rateur du
dÃ©nominateur, quitte Ã&nbsp; utiliser des parenthÃ¨ses. Par exemple, la
saisie \verb=$(n + 1)/2$= gÃ©nÃ¨re le texte $(n + 1)/2$.

De maniÃ¨re plus gÃ©nÃ©rale, la commande
\begin{lstlisting}
\frac`\marg{numÃ©rateur}\marg{dÃ©nominateur}'
\end{lstlisting}
dispose \meta{numÃ©rateur} au-dessus de \meta{dÃ©nominateur}, sÃ©parÃ©s par
une ligne horizontale. La taille des caractÃ¨res s'ajuste
automatiquement selon que la fraction se trouve au fil du texte ou
dans une Ã©quation hors paragraphe, ainsi que selon la position de la
fraction dans l'Ã©quation.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% taille au fil du texte
On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et
$z_2 = xy$.
\end{lstlisting}
    \producing On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et $z_2 = xy$.
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% taille hors paragraphe
On a
\begin{equation*}
  z_1 = \frac{x}{y}
\end{equation*}
et $z_2 = xy$.
\end{lstlisting}
    \producing On a
    \begin{equation*}
      z_1 = \frac{x}{y}
    \end{equation*}
    et $z_2 = xy$.
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% deux tailles combinÃ©es
Soit
\begin{equation*}
  z = \frac{\frac{x}{2}
    + 1}{y}.
\end{equation*}
\end{lstlisting}
    \producing Soit
    \begin{equation*}
      z = \frac{\frac{x}{2} + 1}{y}.
    \end{equation*}
  \end{texample}
\end{demo}

Les commandes
\begin{lstlisting}
\dfrac`\marg{numÃ©rateur}\marg{dÃ©nominateur}'
\tfrac`\marg{numÃ©rateur}\marg{dÃ©nominateur}'
\end{lstlisting}
de \pkg{amsmath} permettent de forcer une fraction Ã&nbsp; adopter la taille
d'une fraction hors paragraphe (\emph{displayed}) dans le cas de
\cmd{\dfrac}, ou de celle d'une fraction au fil du texte (\emph{text})
dans le cas de \cmd{\tfrac}. L'\autoref{ex:math:matrices} permet de
visualiser l'effet de la commande \cmd{\dfrac}.

\tipbox{Il est parfois visuellement plus intÃ©ressant, surtout au fil
  du texte, d'Ã©crire une fraction comme $1/x$ sous la forme $x^{-1}$.}

\subsection{Racines}
\label{sec:math:bases:racines}

La commande
\begin{lstlisting}
\sqrt`\oarg{n}\marg{radicande}'
\end{lstlisting}
construit un symbole de radical autour de \meta{radicande}, par dÃ©faut
la racine carrÃ©e. Si l'argument optionnel \meta{n} est spÃ©cifiÃ©, c'est
plutÃ´t un symbole de racine d'ordre $n$ qui est tracÃ©. La longueur et
la hauteur du radical s'adapte toujours Ã&nbsp; celles du radicande.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.65\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt{2}
\end{lstlisting}
      \producing $\sqrt{2}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt{625}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\sqrt{625}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt[3]{8}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\sqrt[3]{8}$
    \end{texample}
  \end{minipage}

  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt[n]{x + y + z}
\end{lstlisting}
    \producing
    $\sqrt[n]{x + y + z}$
  \end{texample}

  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}
\end{lstlisting}
    \producing
    $\displaystyle \sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}$
  \end{texample}
\end{demo}

\subsection{Sommes et intÃ©grales}
\label{sec:math:bases:sommes-et-integrales}

Les sommes et les intÃ©grales requiÃ¨rent un symbole spÃ©cial ainsi que
des limites infÃ©rieures et supÃ©rieures, le cas Ã©chÃ©ant.

Les commandes \cmd{\sum} et \cmd{\int} servent respectivement Ã&nbsp; tracer
les symboles de somme $\sum$ et d'intÃ©grale $\int$. Le paquetage
\pkg{amsmath} fournit Ã©galement des commandes comme \cmd{\iint} et
\cmd{\iiint} pour obtenir des symboles d'intÃ©grales multiples finement
disposÃ©s ($\iint$ et $\iiint$).

Les Ã©ventuelles limites infÃ©rieures et supÃ©rieures sont saisies comme
des indices et des exposants.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\sum_{i = 0}^n x_i
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \sum_{i = 0}^n x_i$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\int_0^{10} f(x)\, dx
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \int_0^{10} f(x)\, dx$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\iint_D f(x, y)\, dx dy
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \iint_D f(x, y)\, dx dy$
  \end{texample}
\end{demo}

La taille des symboles et la position des limites s'ajustent
automatiquement selon le contexte. Au fil du texte, la somme et
l'intÃ©grale simple ci-dessus apparaitraient comme $\sum_{i = 0}^n x_i$
et $\int_0^{10} f(x)\, dx$.

Dans une intÃ©grale il est recommandÃ© de sÃ©parer l'intÃ©grande de
l'opÃ©rateur de diffÃ©rentiation $dx$ par une espace fine. C'est ce Ã&nbsp;
quoi sert la commande \cmd{\,} ci-dessus; voir aussi le
\autoref{tab:math:espaces}.

\subsection{Points de suspension}
\label{sec:math:bases:dots}

Les formules mathÃ©matiques comportent frÃ©quemment des points de
suspension dans des suites de variables ou d'opÃ©rations. Les
spÃ©cialistes recommandent d'Ã©viter de les entrer comme trois points
finaux consÃ©cutifs, car l'espacement entre les points sera trop petit
et le rÃ©sultat, jugÃ© disgracieux d'un point de vue
typographique\footnote{%
  Le rÃ©sultat exact dÃ©pend de la police utilisÃ©e.}: %
Â«$...$Â».

Le \autoref{tab:math:dots} fournit les commandes {\LaTeX} servant Ã&nbsp;
gÃ©nÃ©rer divers types de points de suspension.

\begin{table}
  \caption{Points de suspension}
  \label{tab:math:dots}
  \centering
  \begin{tabular}{lll}
    \toprule
    commande &amp; type de points &amp; exemple \\
    \midrule
    \cmd{\dots} &amp;  sÃ©lection automatique \\
    \cmd{\ldots} &amp; points Ã&nbsp; la ligne de base &amp; $x_1, \ldots, x_n$ \\
    \cmd{\cdots} &amp; points centrÃ©s &amp; $x_1 + \cdots + x_n$ \\
    \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
    \cmd{\vdots} &amp; points verticaux &amp; $
                                      \begin{matrix}
                                        x_1 \\ \vdots \\ x_n
                                      \end{matrix}$ \\
    \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
    \cmd{\ddots} &amp; points diagonaux &amp; $
                                      \begin{matrix}
                                        x_1 &amp;&amp;\\ &amp;\ddots&amp; \\ &amp;&amp; x_n
                                      \end{matrix}$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

Avec \pkg{amsmath}, la commande \cmd{\dots} tÃ¢che de sÃ©lectionner
automatiquement entre les points Ã&nbsp; la ligne de base ou les points
centrÃ©s selon le contexte. Comme le rÃ©sultat est en gÃ©nÃ©ral le bon, je
recommande d'utiliser principalement cette commande pour insÃ©rer des
points de suspension en mode mathÃ©matique.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1, \dots, x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1, \dots, x_n$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1, \ldots, x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1, \ldots, x_n$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1 + \dots + x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1 + \dots + x_n$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1 + \cdots + x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1 + \cdots + x_n$
  \end{texample}
\end{demo}
Le paquetage dÃ©finit Ã©galement les commandes sÃ©mantiques suivantes:
\begin{itemize}
\item \cmd{\dotsc} pour des Â«points avec des virgulesÂ» (\emph{commas});
\item \cmd{\dotsb} pour des Â«points avec des opÃ©rateurs binairesÂ»;
\item \cmd{\dotsm} pour des Â«points de multiplicationÂ»;
\item \cmd{\dotsi} pour des Â«points avec des intÃ©gralesÂ»;
\item \cmd{\dotso} pour d'Â«autres pointsÂ» (\emph{other}).
\end{itemize}

\subsection{Texte et espaces}
\label{sec:math:bases:texte}

Tel que mentionnÃ© prÃ©cÃ©demment, en mode mathÃ©matique {\LaTeX} traite
les lettres comme des variables et gÃ¨re automatiquement l'espacement
entre les divers symboles. Or, il n'est pas rare que des formules
mathÃ©matiques contiennent du texte (notamment des mots comme Â«oÃ¹Â»,
Â«siÂ», Â«quandÂ»). De plus, il est parfois souhaitable de pouvoir ajuster
les blancs entre des Ã©lÃ©ments.

La commande de \pkg{amsmath}
\begin{lstlisting}
\text`\marg{texte}'
\end{lstlisting}
insÃ¨re \meta{texte} dans une formule mathÃ©matique. Le texte est insÃ©rÃ©
tel quel, sans aucune gestion des espaces avant ou aprÃ¨s le texte. Si
des espaces sont nÃ©cessaires, ils doivent faire partie de
\meta{texte}.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) = a e^{-ax}
\text{ pour } x &gt; 0
\end{lstlisting}
    \producing $f(x) = a e^{-ax} \text{ pour } x &gt; 0$
  \end{texample}
\end{demo}

Les commandes
\begin{lstlisting}
\quad
\qquad
\end{lstlisting}
insÃ¨rent un blanc de largeur variable selon la taille de la police en
vigueur. La commande \cmd{\quad} insÃ¨re un blanc de $1$~em (la largeur de
la lettre M dans la police en vigueur), alors que \cmd{\qquad}
insÃ¨re le double de cette longueur\footnote{%
  Bien qu'elles soient surtout utilisÃ©es dans le mode mathÃ©matique,
  les commandes \cmd{\quad} et \cmd{\qquad} sont Ã©galement valides
  dans le mode texte.}.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) = a e^{-ax},
\quad x &gt; 0
\end{lstlisting}
    \producing
    $f(x) = a e^{-ax}, \quad x &gt; 0$
  \end{texample}
\end{demo}

Le \autoref{tab:math:espaces} rÃ©pertorie et compare les diffÃ©rentes
commandes qui permettent d'insÃ©rer des espaces plus ou moins fines
entre des Ã©lÃ©ments dans le mode mathÃ©matique.

\begin{table}
  \caption{Espaces dans le mode mathÃ©matique}
  \label{tab:math:espaces}
  \centering
  \begin{tabular}{lll}
    \toprule
    Commande &amp; Longueur &amp; Exemple \\
    \midrule
             &amp; pas d'espace &amp; \spx{} \\
    \cmd{\,} &amp; $3/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\,} \\
    \cmd{\:} &amp; $4/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\:} \\
    \cmd{\;} &amp; $5/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\;} \\
    \pixabang &amp; $-3/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\!} \\
    \cmd{\quad} &amp; $1$~em &amp; \spx{\quad} \\
    \cmd{\qquad} &amp; $2$~em &amp; \spx{\qquad} \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

\subsection{Fonctions et opÃ©rateurs}
\label{sec:math:bases:fonctions}

Les rÃ¨gles de typographie pour les Ã©quations mathÃ©matiques exigent que
les variables apparaissent en \textit{italique}, mais que les noms de
fonctions, eux, apparaissent en \textrm{romain}, comme le texte
standard. Pensons, ici, Ã&nbsp; des fonctions comme $\sin$ ou $\log$.

N'oubliez pas que {\LaTeX} interprÃ©tera un nom de fonction saisi tel
quel comme un produit de variables:
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$2 sin 30$
\end{lstlisting}
      \producing
      $2 sin 30$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$3 log 2$
\end{lstlisting}
      \producing
      $3 log 2$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}
La commande \cmdprint{\text} permettrait d'afficher les noms de
fonction en romain, mais l'utiliser Ã&nbsp; rÃ©pÃ©tition se rÃ©vÃ©lerait
rapidement peu pratique. De plus, un nom de fonction n'est pas du
texte Ã&nbsp; proprement parler, mais plutÃ´t un opÃ©rateur mathÃ©matique.

La solution de {\LaTeX} consiste Ã&nbsp; dÃ©finir des commandes pour un grand
nombre de fonctions et d'opÃ©rateurs mathÃ©matiques standards:
\begin{lstlisting}
\arccos   \cosh   \det   \inf      \limsup   \Pr     \tan
\arcsin   \cot    \dim   \ker      \ln       \sec    \tanh
\arctan   \coth   \exp   \lg       \log      \sin
\arg      \csc    \gcd   \lim      \max      \sinh
\cos      \deg    \hom   \liminf   \min      \sup
\end{lstlisting}
L'espacement autour des fonctions et opÃ©rateurs est gÃ©rÃ© par {\LaTeX}.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$2 \sin30$
\end{lstlisting}
      \producing
      $2 \sin30$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$3 \log 2$
\end{lstlisting}
      \producing
      $3 \log 2$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}

Certaines des fonctions ci-dessus, notamment \cmd{\lim}, acceptent des
limites comme les symboles de somme et d'intÃ©grale.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% au fil du texte
\lim_{x \to 0} x = 0
\end{lstlisting}
    \producing $\lim_{x \to 0} x = 0$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% hors paragraphe
\lim_{x \to 0} x = 0
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0$
  \end{texample}
\end{demo}

La commande \cmd{\DeclareMathOperator} de \pkg{amsmath} permet de
dÃ©finir de nouveaux opÃ©rateurs mathÃ©matiques lorsque nÃ©cessaire;
consultez au besoin la section~5.1 de la %
\doc{amsmath}{https://texdoc.net/pkg/amsmath} %
du paquetage.

\begin{exemple}
  Le matÃ©riel passÃ© en revue jusqu'Ã&nbsp; maintenant permet dÃ©jÃ&nbsp;
  de composer des Ã©quations Ã©laborÃ©es --- sous rÃ©serve qu'elles
  tiennent sur une seule ligne comme dans le prÃ©sent exemple.

  DÃ©coupons piÃ¨ce par piÃ¨ce le code {\LaTeX} pour crÃ©er l'Ã©quation
  suivante:
  \begin{equation*}
    \int_x^\infty (y - x) f_{X|X &gt; x}(y)\, dy =
    \frac{1}{1 - F_X(x)} \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy.
  \end{equation*}
  \begin{demo}
    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{Ã©quation hors paragraphe}
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\int_x^\infty
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle \int_x^\infty$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
(y - x) f_{X|X &gt; x}(y)\, dy =
\end{lstlisting}
      \producing
      $(y - x) f_{X|X &gt; x}(y)\, dy =$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\frac{1}{1 - F_X(x)}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\dfrac{1}{1 - F_X(x)}$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{fin de l'environnement}
    \end{texample}
  \end{demo}
  \qed
\end{exemple}


\section{Symboles mathÃ©matiques}
\label{sec:math:symboles}

Outre les chiffres et les lettres de l'alphabet, les claviers
d'ordinateurs ne comptent normalement que les symboles
mathÃ©matiques suivants:
\begin{center}
%\begin{verbatim}
\verb0+  -  =  &lt;  &gt;  /  :  !  '  |  [  ]  (  ) { }0
%\end{verbatim}
\end{center}
Vous pouvez les employer directement dans les Ã©quations, sauf les
accolades \verb={ }= qui sont des symboles rÃ©servÃ©s par {\LaTeX}. Il
faut donc entrer celles-ci avec \cmdprint{\{} et \cmdprint{\}}, comme
dans du texte normal.

Pour reprÃ©senter les innombrables autres symboles mathÃ©matiques, il
faut avoir recours Ã&nbsp; des commandes qui dÃ©butent, comme d'habitude, par
le symbole Â«\bsÂ» et dont le nom est habituellement dÃ©rivÃ© de la
signification mathÃ©matique du symbole.

Si un symbole mathÃ©matique a Ã©tÃ© utilisÃ© quelque part dans une
publication, il y a de fortes chances que sa version existe dans
{\LaTeX}. Il serait donc utopique de tenter de faire ici une recension
des symboles disponibles. Je me contente d'un avant-gout des
principales catÃ©gories.

L'ouvrage de rÃ©fÃ©rence pour connaitre les symboles disponibles dans
{\LaTeX} est la bien nommÃ©e \emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}
\citep{comprehensive}. La liste comprend plus de \nombre{18000}
symboles! On y trouve de tout, des symboles mathÃ©matiques aux
pictogrammes de mÃ©tÃ©o ou d'Ã©checs, en passant par\dots\ des figurines
des Simpsons.

\tipbox{Les moteurs modernes {\XeTeX} et {\LuaTeX} supportent
  nativement le texte en format Unicode UTF-8. Ce standard contient
  des dÃ©finitions pour plusieurs symboles mathÃ©matiques
  \citep{wikipedia:unicode-math}. Cela signifie qu'il est possible
  d'entrer une partie au moins des Ã©quations mathÃ©matiques avec des
  caractÃ¨res visibles Ã&nbsp; l'Ã©cran, plutÃ´t qu'avec des commandes
  {\LaTeX}.}

\subsection{Lettres grecques}
\label{sec:math:symboles:grecques}

On obtient les lettres grecques en {\LaTeX} avec des commandes
correspondant au nom de chaque lettre. Lorsque la commande dÃ©bute par
une capitale, on obtient une lettre grecque majuscule. Les commandes
de certaines lettres grecques majuscules n'existent pas lorsque celles-ci
sont identiques aux lettres romaines.

Les tableaux \ref{tab:math:grecques} et \ref{tab:math:Grecques}
prÃ©sentent l'ensemble des lettres grecques disponibles dans {\LaTeX}.

\begin{table}
  \caption{Lettres grecques minuscules}
  \label{tab:math:grecques}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\alpha$      &amp; \cmd{\alpha}      &amp; $\theta$    &amp; \cmd{\theta} &amp;
    $o$           &amp; o                 &amp; $\tau$      &amp; \cmd{\tau} \\
    $\beta$       &amp; \cmd{\beta}       &amp; $\vartheta$ &amp; \cmd{\vartheta} &amp;
    $\pi$         &amp; \cmd{\pi}         &amp; $\upsilon$  &amp; \cmd{\upsilon} \\
    $\gamma$      &amp; \cmd{\gamma}      &amp; $\iota$     &amp; \cmd{\iota} &amp;
    $\varpi$      &amp; \cmd{\varpi}      &amp; $\phi$      &amp; \cmd{\phi} \\
    $\delta$      &amp; \cmd{\delta}      &amp; $\kappa$    &amp; \cmd{\kappa} &amp;
    $\rho$        &amp; \cmd{\rho}        &amp; $\varphi$   &amp; \cmd{\varphi} \\
    $\epsilon$    &amp; \cmd{\epsilon}    &amp; $\lambda$   &amp; \cmd{\lambda} &amp;
    $\varrho$     &amp; \cmd{\varrho}     &amp; $\chi$      &amp; \cmd{\chi} \\
    $\varepsilon$ &amp; \cmd{\varepsilon} &amp; $\mu$       &amp; \cmd{\mu} &amp;
    $\sigma$      &amp; \cmd{\sigma}      &amp; $\psi$      &amp; \cmd{\psi} \\
    $\zeta$       &amp; \cmd{\zeta}       &amp; $\nu$       &amp; \cmd{\nu} &amp;
    $\varsigma$   &amp; \cmd{\varsigma}   &amp; $\omega$    &amp; \cmd{\omega} \\
    $\eta$        &amp; \cmd{\eta}        &amp; $\xi$       &amp; \cmd{\xi}
  \end{tabularx}
\end{table}

\begin{table}
  \caption{Lettres grecques majuscules}
  \label{tab:math:Grecques}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\Gamma$    &amp; \cmd{\Gamma}   &amp;
    $\Lambda$   &amp; \cmd{\Lambda}  &amp;
    $\Sigma$    &amp; \cmd{\Sigma}   &amp;
    $\Psi$      &amp; \cmd{\Psi}     \\
    $\Delta$    &amp; \cmd{\Delta}   &amp;
    $\Xi$       &amp; \cmd{\Xi}      &amp;
    $\Upsilon$  &amp; \cmd{\Upsilon} &amp;
    $\Omega$    &amp; \cmd{\Omega}   \\
    $\Theta$    &amp; \cmd{\Theta}   &amp;
    $\Pi$       &amp; \cmd{\Pi}      &amp;
    $\Phi$      &amp; \cmd{\Phi}
  \end{tabularx}
\end{table}

\subsection{Lettres modifiÃ©es}
\label{sec:math:symboles:mathcal}

Les lettres de l'alphabet, principalement en majuscule, servent
parfois en mathÃ©matiques dans des versions modifiÃ©es pour reprÃ©senter
des quantitÃ©s, notamment les ensembles.

La commande \cmd{\mathcal} permet de transformer un ou plusieurs
caractÃ¨res en version dite Â«calligraphiqueÂ» dans le mode mathÃ©matique.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\mathcal{ABC\, xyz}
\end{lstlisting}
    \producing
    %% pris de lucidaot.tex; apparemment lent
    \setmathfont[RawFeature=+ss04]{Lucida Bright Math OT}
    $\mathscr{ABC\, xyz}$
  \end{texample}
\end{demo}

La commande \cmd{\mathbb} fournie par les paquetages \pkg{amsfonts} et
\pkg{unicode-math}, entre autres, gÃ©nÃ¨re des versions majuscule
ajourÃ©e (\emph{blackboard bold}) des lettres de l'alphabet. Elles sont
principalement utilisÃ©e pour reprÃ©senter les ensembles de nombres.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\mathbb{NZRC}
\end{lstlisting}
    \producing $\mathbb{NZRC}$
  \end{texample}
\end{demo}

\tipbox{Certaines polices OpenType contiennent plusieurs versions des
  symboles mathÃ©matiques. Par exemple, la police utilisÃ©e dans le
  prÃ©sent document contient deux versions de la police calligraphique,
  celle prÃ©sentÃ©e ci-dessus et celle-ci: %
  \setmathfont[RawFeature=-ss04]{Lucida Bright Math OT}
  $\mathscr{ABC\, xyz}$. Consultez la documentation de la police pour
  connaitre les options disponibles.}

\subsection{OpÃ©rateurs binaires et relations}
\label{sec:math:symboles:binaires+relations}

Les opÃ©rateurs binaires combinent deux quantitÃ©s pour en former une
troisiÃ¨me; pensons simplement aux opÃ©rateurs d'addition $+$ et de
soustraction $-$ que l'on retrouve sur un clavier d'ordinateur normal.
Les relations, quant Ã&nbsp; elles, servent pour la comparaison entre deux
quantitÃ©s, comme $&lt;$ et $&gt;$. Le \autoref{tab:math:binaires}
prÃ©sente une sÃ©lection d'opÃ©rateurs binaires et
le \autoref{tab:math:relations}  une sÃ©lection de relations.

La %
\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{https://texdoc.net/pkg/comprehensive} %
consacre plus d'une dizaine de tableaux aux opÃ©rateurs binaires et
prÃ¨s d'une quarantaine aux relations. C'est dire Ã&nbsp; quel point les
tableaux \ref*{tab:math:binaires} et \ref*{tab:math:relations} de la
\autopageref{tab:math:binaires} ne prÃ©sentent que les principaux
Ã©lÃ©ments Ã&nbsp; titre indicatif.

Certaines relations existent directement en version opposÃ©e, ou
nÃ©gative (comme $\neq$ ou $\notin$) soit dans {\LaTeX} de base, soit
avec \pkg{amsmath} ou un autre paquetage. Autrement, il est possible
de prÃ©fixer toute relation de \cmd{\not} pour y superposer une barre
oblique Â«$/$Â».

\begin{table}
  \caption{Quelques opÃ©rateurs binaires}
  \label{tab:math:binaires}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\times$    &amp; \cmd{\times} &amp;
    $\div$      &amp; \cmd{\div}   &amp;
    $\pm$       &amp; \cmd{\pm}    &amp;
    $\cdot$     &amp; \cmd{\cdot}    \\
    $\cup$      &amp; \cmd{\cup} &amp;
    $\cap$      &amp; \cmd{\cap} &amp;
    $\setminus$ &amp; \cmd{\setminus} &amp;
    $\circ$     &amp; \cmd{\circ}  \\
    $\wedge$    &amp; \cmd{\wedge} &amp;
    $\vee$      &amp; \cmd{\vee} &amp;
    $\oplus$    &amp; \cmd{\oplus} &amp;
    $\otimes$   &amp; \cmd{\otimes} \\
    $\ast$      &amp; \cmd{\ast} &amp;
    $\star$     &amp; \cmd{\star} &amp;
    $\boxplus$  &amp; \cmd{\boxplus}$^\dagger$ &amp;
    $\boxtimes$ &amp; \cmd{\boxtimes}$^\dagger$ \\
    \addlinespace
  \end{tabularx}
  \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
\end{table}

\begin{table}
  \caption{Quelques relations et leur nÃ©gation}
  \label{tab:math:relations}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\leq$      &amp; \cmd{\leq} &amp;
    $\geq$      &amp; \cmd{\geq}   &amp;
    $\neq$      &amp; \cmd{\neq}    &amp;
    $\equiv$    &amp; \cmd{\equiv}    \\
    $\subset$   &amp; \cmd{\subset} &amp;
    $\subseteq$ &amp; \cmd{\subseteq}  &amp;
    $\in$       &amp; \cmd{\in} &amp;
    $\notin$    &amp; \cmd{\notin} \\
    $\nless$    &amp; \cmd{\nless}$^\dagger$ &amp;
    $\ngtr$     &amp; \cmd{\ngtr}$^\dagger$   &amp;
    $\nleq$     &amp; \cmd{\nleq}$^\dagger$    &amp;
    $\ngeq$     &amp; \cmd{\ngeq}$^\dagger$ \\
    \addlinespace
  \end{tabularx}
  \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
\end{table}

\subsection{FlÃ¨ches}
\label{sec:math:symboles:fleches}

Les flÃ¨ches de diffÃ©rents types sont souvent utilisÃ©es en notation
mathÃ©matique, notamment dans les limites ou pour les expressions
logiques. Le \autoref{tab:math:fleches} en prÃ©sente une sÃ©lection.

On retrouve les flÃ¨ches utilisables en notation mathÃ©matique dans la %
\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{https://texdoc.net/pkg/comprehensive}. %
Le document contient divers autres types de flÃ¨ches, mais celles-ci ne
sont gÃ©nÃ©ralement pas appropriÃ©es pour les mathÃ©matiques (pensons Ã&nbsp;
{\manerrarrow} ou {\faArrowRight}).

Le paquetage \pkg{amsmath} fournit plusieurs flÃ¨ches additionnelles
ainsi que la nÃ©gation des plus communes. Ces derniÃ¨res apparaissent
d'ailleurs dans le \autoref{tab:math:fleches}.

\begin{table}
  \caption{Quelques flÃ¨ches et leur nÃ©gation}
  \label{tab:math:fleches}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlX}
    $\gets$                &amp; \cmd{\leftarrow}\quad \cmd{\gets} &amp;
    $\longleftarrow$       &amp; \cmd{\longleftarrow}              \\
    $\Leftarrow$           &amp; \cmd{\Leftarrow}                  &amp;
    $\Longleftarrow$       &amp; \cmd{\Longleftarrow}              \\
    $\to$                  &amp; \cmd{\rightarrow}\quad \cmd{\to}  &amp;
    $\longrightarrow$      &amp; \cmd{\longrightarrow}             \\
    $\Rightarrow$          &amp; \cmd{\Rightarrow}                 &amp;
    $\Longrightarrow$      &amp; \cmd{\Longrightarrow}             \\
    $\uparrow$             &amp; \cmd{\uparrow}                    &amp;
    $\downarrow$           &amp; \cmd{\downarrow}                  \\
    $\Uparrow$             &amp; \cmd{\Uparrow}                    &amp;
    $\Downarrow$           &amp; \cmd{\Downarrow}                  \\
    $\updownarrow$         &amp; \cmd{\updownarrow}                &amp;
    $\Updownarrow$         &amp; \cmd{\Updownarrow}                \\
    $\leftrightarrow$      &amp; \cmd{\leftrightarrow}             &amp;
    $\longleftrightarrow$  &amp; \cmd{\longleftrightarrow}         \\
    $\Leftrightarrow$      &amp; \cmd{\Leftrightarrow}             &amp;
    $\Longleftrightarrow$  &amp; \cmd{\Longleftrightarrow}         \\
    $\nleftarrow$          &amp; \cmd{\nleftarrow}$^\dagger$         &amp;
    $\nleftrightarrow$     &amp; \cmd{\nleftrightarrow}$^\dagger$    \\
    $\nrightarrow$         &amp; \cmd{\nrightarrow}$^\dagger$        &amp;
    $\nLeftarrow$          &amp; \cmd{\nLeftarrow}$^\dagger$         \\
    $\nLeftrightarrow$     &amp; \cmd{\nLeftrightarrow}$^\dagger$    &amp;
    $\nRightarrow$         &amp; \cmd{\nRightarrow}$^\dagger$        \\
    \addlinespace
  \end{tabularx}
  \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
\end{table}

\subsection{Accents et autres symboles utiles}
\label{sec:math:symboles:autres}

Le \autoref{tab:math:autres} prÃ©sente quelques uns des accents
disponibles dans le mode mathÃ©matique, ainsi que divers symboles
frÃ©quemment utilisÃ©s en mathÃ©matiques. Pour connaitre l'ensemble des
accents du mode mathÃ©matique de {\LaTeX}, les versions extensibles de
certains et divers autres symboles mathÃ©matiques, consultez la
section~3 de la %
\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{https://texdoc.net/pkg/comprehensive}. %

\begin{table}
  \caption{Accents et symboles mathÃ©matiques divers}
  \label{tab:math:autres}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\hat{a}$ &amp; \cmd{\hat}\verb={a}= &amp;
    $\bar{a}$ &amp; \cmd{\bar}\verb={a}= &amp;
    $\tilde{a}$ &amp; \cmd{\tilde}\verb={a}= &amp;
    $\ddot{a}$ &amp; \cmd{\ddot}\verb={a}= \\
    $\infty$ &amp; \cmd{\infty} &amp;
    $\nabla$ &amp; \cmd{\nabla} &amp;
    $\partial$ &amp; \cmd{\partial} &amp;
    $\ell$ &amp; \cmd{\ell} \\
    $\forall$ &amp; \cmd{\forall} &amp;
    $\exists$ &amp; \cmd{\exists} &amp;
    $\emptyset$ &amp; \cmd{\emptyset} &amp;
    $\prime$ &amp; \cmd{\prime} \\
    $\neg$ &amp; \cmd{\neg} &amp;
    $\backslash$ &amp; \cmd{\backslash} &amp;
    $\|$ &amp; \pixbar &amp;
    $\angle$ &amp; \cmd{\angle}
  \end{tabularx}
\end{table}


\begin{exemple}
  L'Ã©quation suivante contient plusieurs des Ã©lÃ©ments prÃ©sentÃ©s dans
  cette section et la prÃ©cÃ©dente:
  \begin{equation*}
    \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =
    \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\,
    dx,
    \quad
    \alpha &gt; 0 \text{ et } \lambda &gt; 0.
  \end{equation*}
  \begin{demo}
    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{Ã©quation hors paragraphe}
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\frac{\Gamma(\alpha)}{
  \lambda^\alpha} =
\end{lstlisting}
      \producing
      $\dfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
, \quad \alpha &gt; 0 \text{ et }
\lambda &gt; 0.
\end{lstlisting}
      \producing
      $, \quad \alpha &gt; 0 \text{ et } \lambda &gt; 0.$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{fin de l'environnement}
    \end{texample}
  \end{demo}
  \qed
\end{exemple}


\section{Ã‰quations sur plusieurs lignes et numÃ©rotation}
\label{sec:math:align}

Dans ce qui prÃ©cÃ¨de, je n'ai prÃ©sentÃ© que des Ã©quations tenant sur une
seule ligne en mode hors paragraphe. Cette section se penche sur la
maniÃ¨re de reprÃ©senter des groupes d'Ã©quations du type
\begin{align}
  y &amp;= 2x + 4 \\
  y &amp;= 6x - 1
\end{align}
ou des suites d'Ã©quations comme
\begin{align*}
  x_{\text{max}}
  &amp;= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
  &amp;= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
  &amp;= b^m - 1.
\end{align*}

Je recommande fortement les environnements de \pkg{amsmath} pour les
Ã©quations sur plusieurs lignes: ils sont plus polyvalents, plus
simples Ã&nbsp; utiliser et leur rendu est meilleur. Le
\autoref{tab:math:displays} --- repris presque intÃ©gralement de la
documentation de ce paquetage --- compare les diffÃ©rents
environnements pour les Ã©quations hors paragraphe.

\begin{table}[p]
  \caption[Comparaison des environnements pour les Ã©quations hors
  paragraphe de \pkg{amsmath}]{%
    Comparaison des environnements pour les Ã©quations hors
    paragraphe de \pkg{amsmath} (les lignes verticales indiquent les
    marges logiques).}
  \label{tab:math:displays}
  \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  a = b
\end{equation*}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation*}
      a = b
    \end{equation*}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{equation}
  a = b
\end{equation}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation}
      a = b
    \end{equation}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{equation}
  \label{eq:5}
  \begin{split}
    a &amp;= b + c - d \\
    &amp;\phantom{=} + e - f \\
    &amp;= g + h \\
    &amp;= i
  \end{split}
\end{equation}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation}\label{eq:math:5}
      \begin{split}
        a&amp; =b+c-d\\
        &amp;\phantom{=} +e-f\\
        &amp; =g+h\\
        &amp; =i
      \end{split}
    \end{equation}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{multline}
  a + b + c + d + e + f \\
  + i + j + k + l + m + n
\end{multline}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{multline}
      a+b+c+d+e+f\\
      +i+j+k+l+m+n
    \end{multline}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{gather}
  a_1 = b_1 + c_1 \\
  a_2 = b_2 + c_2 - d_2 + e_2
\end{gather}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{gather}
      a_1=b_1+c_1\\
      a_2=b_2+c_2-d_2+e_2
    \end{gather}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  a_1 &amp;= b_1+c_1 \\
  a_2 &amp;= b_2+c_2-d_2+e_2
\end{align}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{align}
      a_1&amp; =b_1+c_1\\
      a_2&amp; =b_2+c_2-d_2+e_2
    \end{align}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  a_{11} &amp;= b_{11} &amp;
  a_{12} &amp;= b_{12} \\
  a_{21} &amp;= b_{21} &amp;
  a_{22} &amp;= b_{22} + c_{22}
\end{align}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{align}
      a_{11}&amp; =b_{11}&amp;
      a_{12}&amp; =b_{12}\\
      a_{21}&amp; =b_{21}&amp;
      a_{22}&amp; =b_{22}+c_{22}
    \end{align}
  \end{eqxample}
\end{table}

\begin{itemize}
\item L'environnement de base pour les Ã©quations alignÃ©es sur un
  symbole de relation (en une ou plusieurs colonnes) est \Ie{align}.
  C'est l'environnement le plus utilisÃ© en mode mathÃ©matique hormis
  \Pe{equation}.
\item Les environnements \Pe{multline}, \Pe{gather} et \Pe{align}
  existent Ã©galement en version Ã©toilÃ©e (\Ie{multline*}, \Ie{gather*},
  \Ie{align*}) qui ne numÃ©rotent pas les Ã©quations.
\item Dans les environnements \Pe{align} et \Ie{split}, les Ã©quations
  successives sont alignÃ©es sur le caractÃ¨re se trouvant immÃ©diatement
  aprÃ¨s le marqueur de colonne Â«\verb=&amp;=Â».
\item Comme dans les tableaux, la commande {\pixbsbs} sert Ã&nbsp;
  dÃ©limiter les lignes de la suite d'Ã©quations.
\item Dans le troisiÃ¨me exemple du \autoref{tab:math:displays}, la
  commande \cmd{\phantom} sert Ã&nbsp; insÃ©rer un blanc exactement de la
  largeur du symbole Â«$=$Â» au dÃ©but de la seconde ligne de la suite
  d'Ã©galitÃ©s.
\item Pour supprimer la numÃ©rotation d'une ligne dans une sÃ©rie
  d'Ã©quations numÃ©rotÃ©es, placer la commande \cmd{\notag} juste avant
  la commande de changement de ligne {\pixbsbs}.
  \begin{demo}
    \begin{texample}[0.53\linewidth]
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  a_1 &amp;= b_1 + c_1 \notag \\
  a_2 &amp;= b_2 + c_2 - d_2 + e_2
\end{align}
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{align}
        a_1&amp; =b_1+c_1 \notag \\
        a_2&amp; =b_2+c_2-d_2+e_2
      \end{align}
    \end{texample}
  \end{demo}
\item Les renvois vers des Ã©quations numÃ©rotÃ©es fonctionnent, comme
  partout ailleurs en {\LaTeX}, avec le systÃ¨me d'Ã©tiquettes et de
  rÃ©fÃ©rences (\autoref{sec:tableaux:floats}). Le paquetage
  \pkg{amsmath} fournit Ã©galement la trÃ¨s utile commande \cmd{\eqref}
  qui place automatiquement le numÃ©ro d'Ã©quation entre parenthÃ¨ses.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
L'Ã©quation \eqref{eq:5} du
tableau `\ref*{tab:math:displays}' dÃ©montre que...
\end{lstlisting}
      \producing
      L'Ã©quation \eqref{eq:math:5} du tableau
      \ref*{tab:math:displays} dÃ©montre que\dots
    \end{texample}
  \end{demo}
\item L'environnement \Ie{split} sert Ã&nbsp; apposer un seul numÃ©ro Ã&nbsp; une
  Ã©quation affichÃ©e sur plusieurs lignes. Il doit Ãªtre employÃ© Ã&nbsp;
  l'intÃ©rieur d'un autre environnement d'Ã©quations hors paragraphe.
\end{itemize}
Consultez le chapitre 3 de la %
\doc{amsmath}{https://texdoc.net/pkg/amsmath} %
du paquetage \pkg{amsmath} pour les dÃ©tails sur
l'utilisation des environnements du \autoref*{tab:math:displays}.

\begin{exemple}
  J'ai rÃ©alisÃ© les deux suites d'Ã©quations au dÃ©but de la section avec
  les extraits de code ci-dessous, dans l'ordre.
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  y &amp;= 2x + 4 \\
  y &amp;= 6x - 1
\end{align}
\end{lstlisting}
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  x_{\text{max}}
  &amp;= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
  &amp;= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
  &amp;= b^m - 1.
\end{align*}
\end{lstlisting}
  \qed
\end{exemple}

Veillez Ã&nbsp; respecter les rÃ¨gles suivantes pour la composition
des Ã©quations.
\begin{enumerate}
\item Qu'elles apparaissent en ligne ou hors paragraphe, les Ã©quations
  font partie intÃ©grante de la phrase. Ainsi, les rÃ¨gles de
  ponctuation usuelles s'appliquent aux Ã©quations.
\item Lorsqu'une Ã©quation s'Ã©tend sur plus d'une ligne, coupez chaque
  ligne \emph{avant} un opÃ©rateur de sorte que chaque ligne constitue
  une expression mathÃ©matique complÃ¨te (voir les troisiÃ¨me et
  quatriÃ¨me exemples du \autoref{tab:math:displays}).
\item Ne numÃ©rotez que les Ã©quations d'un document auxquelles le texte
  fait rÃ©fÃ©rence.
\end{enumerate}


\section{DÃ©limiteurs de taille variable}
\label{sec:math:delimiteurs}

Les dÃ©limiteurs en mathÃ©matiques sont des symboles gÃ©nÃ©ralement
utilisÃ©s en paire tels que les parenthÃ¨ses $(~)$, les crochets $[~]$
ou les accolades $\{~\}$ et qui servent Ã&nbsp; regrouper des termes d'une
Ã©quation. La taille des dÃ©limiteurs doit s'adapter au contenu entre
ceux-ci afin d'obtenir, par exemple,
\begin{equation*}
  \left( 1 + \frac{1}{x} \right)
\end{equation*}
plutÃ´t que la peu esthÃ©tique composition
\begin{equation*}
  (1 + \frac{1}{x}).
\end{equation*}

La paire de commandes
\begin{lstlisting}
\left`\meta{delim\_g}'  ...  \right`\meta{delim\_d}'
\end{lstlisting}
dÃ©finit un dÃ©limiteur gauche \meta{delim\_g} et un dÃ©limiteur droit
\meta{delim\_d} dont la taille s'ajustera automatiquement au contenu
entre les deux commandes.
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\left( 1 + \frac{1}{x} \right)
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation*}
      \left( 1 + \frac{1}{x} \right)
    \end{equation*}
  \end{texample}

  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\left(
  \sum_{i = 1}^n x_i^2
\right)^{1/2}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation*}
      \left(
        \sum_{i = 1}^n x_i^2
      \right)^{1/2}
    \end{equation*}
  \end{texample}
\end{demo}
Les commandes \cmd{\left} et \cmd{\right} doivent toujours former une
paire, c'est-Ã&nbsp;-dire qu'Ã&nbsp; \emph{toute} commande \cmdprint{\left} doit
absolument correspondre une commande \cmdprint{\right}. Cette
contrainte est facile Ã&nbsp; oublier!

\begin{itemize}
\item Il est possible d'imbriquer des paires de commandes les unes Ã&nbsp;
  l'intÃ©rieur des autres, pour autant que l'expression compte toujours
  autant de \cmdprint{\left} que de \cmdprint{\right}.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\left[
  \int
  \left(
    1 + \frac{x}{k}
  \right) dx
\right]
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        \left[
          \int
          \left(
            1 + \frac{x}{k}
          \right) dx
        \right]
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item Les symboles \meta{delim\_g} et \meta{delim\_d} n'ont pas Ã&nbsp;
  former une paire logique; toute combinaison de dÃ©limiteurs est
  valide.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\int_0^1 x\, dx =
\left[
  \frac{x^2}{2}
\right|_0^1
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        \int_0^1 x\, dx =
        \left[
          \frac{x^2}{2}
        \right|_0^1
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item Il arrive qu'un seul dÃ©limiteur soit nÃ©cessaire. Pour respecter
  la rÃ¨gle de la paire ci-dessus, on aura recours dans ce cas Ã&nbsp; un
  dÃ©limiteur \emph{invisible} reprÃ©sentÃ© par le caractÃ¨re Â«\verb=.=Â».
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) =
\left\{
  \begin{aligned}
    1 - x, &amp;\quad x &lt; 1 \\
    x - 1, &amp;\quad x \geq 1
  \end{aligned}
\right.
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        f(x) =
        \left\{
          \begin{aligned}
            1 - x, &amp;\quad x &lt; 1 \\
            x - 1, &amp;\quad x \geq 1
          \end{aligned}
        \right.
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
  (L'environnement \Ie{aligned} utilisÃ© ci-dessus provient de
  \pkg{amsmath}.) L'environnement \Ie{cases} de \pkg{amsmath} rend
  plus simple la rÃ©alisation de constructions comme celle ci-dessus.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) =
\begin{cases}
  1 - x, &amp; x &lt; 1 \\
  x - 1, &amp; x \geq 1
\end{cases}
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        f(x) =
        \begin{cases}
          1 - x, &amp; x &lt; 1 \\
          x - 1, &amp; x \geq 1
        \end{cases}
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item La rÃ¨gle de la paire est tout spÃ©cialement dÃ©licate dans les
  Ã©quations sur plusieurs lignes car elle s'applique Ã&nbsp; \emph{chaque
    ligne} d'une Ã©quation. Par consÃ©quent, si la paire de dÃ©limiteurs
  s'ouvre sur une ligne et se referme sur une autre, il faudra ajouter
  un dÃ©limiteur invisible Ã&nbsp; la fin de la premiÃ¨re ligne ainsi qu'au
  dÃ©but de la seconde.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  a
  &amp;= \left(
    b + \frac{c}{d}
    \right. \\
  &amp;\phantom{=} \left.
    + \frac{e}{d} - f
    \right)
\end{align*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{align*}
        a
        &amp;= \left(
          b + \frac{c}{d}
          \right. \\
        &amp;\phantom{=} \left.
          + \frac{e}{d} - f
          \right)
      \end{align*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item Il est Ã©galement possible de choisir la taille des dÃ©limiteurs
  avec les commandes %
  \cmd{\big}, %
  \cmd{\Big}, %
  \cmd{\bigg} et %
  \cmd{\Bigg}. %
  Ces commandes s'utilisent comme \cmdprint{\left} et
    \cmdprint{\right} en les faisant immÃ©diatement suivre d'un
  dÃ©limiteur. Le \autoref{tab:math:big_et_al} fournit des exemples de
  dÃ©limiteurs pour chaque taille.

  \begin{table}
    \centering
    \caption{Tailles des dÃ©limiteurs mathÃ©matiques}
    \label{tab:math:big_et_al}
    \begin{tabular}{ll}
      \toprule
      taille standard &amp; $(~) \quad [~] \quad \{~\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\big} &amp; $\big(~\big) \quad \big[~\big] \quad \big\{~\big\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\Big} &amp; $\Big(~\Big) \quad \Big[~\Big] \quad \Big\{~\Big\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\bigg} &amp; $\bigg(~\bigg) \quad \bigg[~\bigg] \quad \bigg\{~\bigg\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\Bigg} &amp; $\Bigg(~\Bigg) \quad \Bigg[~\Bigg] \quad \Bigg\{~\Bigg\}$ \\
      \addlinespace[4pt]\bottomrule
    \end{tabular}
  \end{table}
\end{itemize}

\begin{exemple}
  Le dÃ©veloppement de la formule d'approximation de Simpson comporte
  plusieurs des Ã©lÃ©ments discutÃ©s jusqu'Ã&nbsp; maintenant:
  \begin{align*}
    \int_a^b f(x)\, dx
    &amp;\approx \sum_{j = 0}^{n - 1}
      \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\
    &amp;= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1}
      \left[
      f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)})
      \right]
    \displaybreak[0] \\
    &amp;= \frac{h}{3}
      \left[
      f(x_0) +
      \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
      4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1})
      \right. \displaybreak[0] \\
    &amp;\phantom{=}  + \left.
      \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) +
      f(x_{2n})
      \right] \\
    &amp;= \frac{h}{3}
      \left[
      f(a) +
      2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
      4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) +
      f(b)
      \right].
  \end{align*}
  J'ai composÃ© ce bloc d'Ã©quations avec le code source ci-dessous.
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  \int_a^b f(x)\, dx
  &amp;\approx \sum_{j = 0}^{n - 1}
    \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\
  &amp;= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1}
    \left[
    f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)})
    \right] \\
  &amp;= \frac{h}{3}
    \left[
    f(x_0) +
    \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
    4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1})
    \right. \\
  &amp;\phantom{=} + \left.
    \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) +
    f(x_{2n})
    \right] \\
  &amp;= \frac{h}{3}
    \left[
    f(a) +
    2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
    4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) +
    f(b)
    \right].
\end{align*}
\end{lstlisting}
  \qed
\end{exemple}

\tipbox{La section~14 de la documentation de \pkg{amsmath} traite de
  divers enjeux typographiques en lien avec les dÃ©limiteurs, en plus
  d'y introduire des nouvelles commandes pour contrÃ´ler leur taille.}

De maniÃ¨re gÃ©nÃ©rale, il est dÃ©conseillÃ© de scinder une suite
d'Ã©quations entre deux pages. Le chargement du paquetage \pkg{amsmath}
dÃ©sactive d'ailleurs cette possibilitÃ©. Cependant, c'est parfois
inÃ©vitable pour les longs blocs d'Ã©quations.

La commande \cmd{\displaybreak}, placÃ©e immÃ©diatement avant Â«\pixbsbsÂ»
dans un environnement comme \Ie{align} permet d'indiquer Ã&nbsp; {\LaTeX} la
possibilitÃ© d'insÃ©rer un saut de page aprÃ¨s la ligne courante dans le
bloc d'Ã©quations. La commande accepte en argument optionnel un entier
entre $0$ et $4$ indiquant Ã&nbsp; quel point un saut de page est dÃ©sirÃ©:
\cmdprint{\displaybreak[0]} signifie Â«il est permis de changer de page
iciÂ» sans que ce ne soit obligatoire; \cmdprint{\displaybreak[4]} ou,
de maniÃ¨re Ã©quivalente, \cmdprint{\displaybreak} force un saut de
page.

\tipbox{Ã€ moins d'en Ãªtre vraiment aux toutes derniÃ¨res Ã©tapes
  d'Ã©dition d'un document, utilisez la commande
  \cmdprint{\displaybreak} avec parcimonie et avec un argument
  optionnel faible.}


\section{CaractÃ¨res gras en mathÃ©matiques}
\label{sec:math:gras}

Les caractÃ¨res gras sont parfois utilisÃ©s en mathÃ©matiques,
particuliÃ¨rement pour reprÃ©senter les vecteurs et les matrices:
\begin{equation*}
  \symbf{A} \symbf{x} = \symbf{b} \Leftrightarrow
  \symbf{x} = \symbf{A}^{-1} \symbf{b}
\end{equation*}

Pourquoi consacrer une section spÃ©cialement Ã&nbsp; cette convention
typographique? Parce que la crÃ©ation de symboles mathÃ©matiques en
gras doit certainement figurer parmi les questions les plus
frÃ©quemment posÃ©es par les utilisateurs de {\LaTeX}\dots\ et que la
rÃ©ponse n'est pas unique!

La commande
\begin{lstlisting}
\mathbf`\marg{symbole}'
\end{lstlisting}
place \meta{symbole} en caractÃ¨re gras en mode mathÃ©matique. C'est
donc l'analogue de la commande \cmd{\textbf} du mode texte. Dans
{\LaTeX} de base, la commande n'a toutefois un effet que sur les
lettres latines et, parfois, les lettres grecques majuscules.
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
\theta \mathbf{\theta} +
\Gamma \mathbf{\Gamma} \mathbf{+}
A \mathbf{A}
\end{lstlisting}
    \producing
    %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec
    %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard
    $\theta {\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} {+} A \symbfup{A}$
  \end{texample}
\end{demo}
On remarquera aussi que \verb=\mathbf{A}= produit une lettre
majuscule droite plutÃ´t qu'en italique.

La maniÃ¨re la plus standard et robuste d'obtenir des symboles
mathÃ©matiques (autres que les lettres) en gras semble Ãªtre, au moment
d'Ã©crire ces lignes, via la commande
\begin{lstlisting}
\bm`\marg{symbole}'
\end{lstlisting}
fournie par le paquetage \pkg{bm} \citep{bm}.
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
\theta \bm{\theta} +
\Gamma \bm{\Gamma} \bm{+}
A \bm{A}
\end{lstlisting}
    \producing
    %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec
    %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard
    $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbfup{\Gamma} \symbf{+} A
    \symbf{A}$
  \end{texample}
\end{demo}

Les utilisateurs de {\XeLaTeX} chargent normalement le paquetage
\pkg{unicode-math} \citep{unicode-math} pour sÃ©lectionner la police
pour les mathÃ©matiques. Ce paquetage fournit la commande
\begin{lstlisting}
\symbf`\marg{symbole}'
\end{lstlisting}
pour placer un \meta{symbole} mathÃ©matique en gras. Le paquetage offre
diffÃ©rentes combinaisons de lettres latines et grecques droites ou
italiques en gras selon la valeur de l'option \code{bold-style};
consulter la section~5 de la %
\doc{unicode-math}{https://texdoc.net/pkg/unicode-math}. %
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
% XeLaTeX + paquetage unicode-math
% avec l'option bold-style=ISO
\theta \symbf{\theta} +
\Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+}
A \symbf{A}
\end{lstlisting}
    \producing
    $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+} A
    \symbf{A}$
  \end{texample}
\end{demo}

Si le gras est frÃ©quemment utilisÃ© dans un document pour une notation
particuliÃ¨re, il est fortement recommandÃ© de dÃ©finir une nouvelle
commande\footnote{%
  La dÃ©finition de nouvelles commandes est couvert plus en dÃ©tail au
  \autoref{chap:commandes}.} sÃ©mantique plutÃ´t que d'utiliser Ã&nbsp;
rÃ©pÃ©tition l'une ou l'autre des commandes ci-dessus. Par exemple, si
le gras est utilisÃ© pour les vecteurs et matrices, vous pourriez
dÃ©finir une nouvelle commande \cmdprint{\mat} en insÃ©rant dans le
prÃ©ambule du document
\begin{lstlisting}
\newcommand[1]{\mat}{\bm{#1}}
\end{lstlisting}

\begin{exemple}
  \label{ex:math:matrices}
  Le paquetage \pkg{amsmath} fournit quelques environnements qui
  facilitent la mise en forme de matrices; ils diffÃ¨rent simplement
  par le type de dÃ©limiteur autour de la matrice. Ainsi, le bloc
  d'Ã©quations
  \begin{align*}
    \mat{J}(\mat{\theta})
    &amp;=
      \begin{bmatrix}
        \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
        \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} \\[12pt]
        \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
        \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
      \end{bmatrix} \\
    &amp;=
      \left[
      \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j}
      \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2.
  \end{align*}
  a Ã©tÃ© composÃ© avec le code suivant:
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  \mat{J}(\mat{\theta})
  &amp;=
  \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
    \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
    \\[12pt] % augmenter l'espace entre les lignes
    \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
    \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
  \end{bmatrix} \\
  &amp;=
  \left[
  \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j}
  \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2.
\end{align*}
\end{lstlisting}
  La commande \cmd{\dfrac} (\autoref{sec:math:bases:fractions}) a
  servi Ã&nbsp; composer des grandes fractions Ã&nbsp; l'intÃ©rieur des matrices.
  J'ai Ã©galement eu recours Ã&nbsp; la commande \cmdprint{\mat} ci-dessus. %
  \qed
\end{exemple}


\notebox{Le paquetage \pkg{unicode-math} offre l'option \code{ISO}
  pour le traitement du gras dans les mathÃ©matiques. En fait, c'est
  toute la composition des mathÃ©matiques qui fait l'objet d'un
  standard ISO!

  Plusieurs prescriptions du standard --- comme les noms de variables
  en italique --- sont dÃ©jÃ&nbsp; prises en compte par {\LaTeX}. Le respect
  de certaines autres rÃ¨gles est moins rÃ©pandu, notamment celle qui
  veut que les constantes mathÃ©matiques dont la valeur ne change pas
  (ce sont des constantes, aprÃ¨s tout) soient reprÃ©sentÃ©es en police
  droite. On pense, par exemple, au nombre d'Euler $\mathrm{e}$, au
  nombre imaginaire $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$. MÃªme chose pour les
  opÃ©rateurs mathÃ©matiques, dont le $\mathrm{d}$ dans les dÃ©rivÃ©es et
  les intÃ©grales.

  Voici un exemple d'intÃ©grale composÃ©e avec ces rÃ¨gles:
  \begin{equation*}
    \int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z}\, \mathrm{d}z = 2 \pi \mathrm{i}.
  \end{equation*}
  Pour en savoir plus sur l'utilisation du standard ISO dans {\LaTeX},
  consulter \citet{Beccari:ISO} ou, pour un sommaire rapide, l'%
  \link{https://nickhigham.wordpress.com/2016/01/28/typesetting-mathematics-according-to-the-iso-standard}{entrÃ©e de blogue} %
  de Nick Higham.}


%%%
%%% Exercices
%%%

\section{Exercices}
\label{sec:math:exercices}

\Opensolutionfile{solutions}[solutions-mathematiques]

\begin{Filesave}{solutions}
\section*{Chapitre \ref*{chap:math}}
\addcontentsline{toc}{section}{Chapitre \protect\ref*{chap:math}}

\end{Filesave}

\begin{exercice}
  Utiliser le gabarit de document \fichier{exercice-gabarit.tex} pour
  reproduire le texte suivant:
  \begin{quote}
    La dÃ©rivÃ©e de la fonction composÃ©e $f \circ g(x) = f[g(x)]$ est
    $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)] g^\prime(x)$. La dÃ©rivÃ©e
    seconde du produit des fonctions $f$ et $g$ est
    \begin{equation*}
      [f(x) g(x)]^{\prime\prime} =
      f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) +
      f(x) g^{\prime\prime}(x).
    \end{equation*}
  \end{quote}
  \begin{sol}
    La commande pour produire le symbole $\circ$ se trouve dans le
    \autoref{tab:math:binaires}. Il est possible de produire les
    symboles de dÃ©rivÃ©e $\prime$ avec la commande \cmd{\prime}
    (\autoref{tab:math:autres}) ou simplement avec le caractÃ¨re
    \verb='=.
\begin{lstlisting}
La dÃ©rivÃ©e de la fonction composÃ©e $f \circ g(x) =
f[g(x)]$ est $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)]
g^\prime(x)$. La dÃ©rivÃ©e seconde du produit des
fonctions $f$ et $g$ est
\begin{equation*}
  [f(x) g(x)]^{\prime\prime} =
  f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) +
  f(x) g^{\prime\prime}(x).
\end{equation*}
\end{lstlisting}
  \end{sol}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Composer l'Ã©quation suivante avec l'environnement \Pe{align*}:
  \begin{align*}
    f(x +&amp; h, y + k)
    = f(x, y) +
      \left\{
      \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} h +
      \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} k
      \right\} \\
    &amp;+
      \frac{1}{2}
      \left\{
      \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} h^2 +
      \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y} kh +
      \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} k^2
      \right\} \\
    &amp;+
      \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots + \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n.
  \end{align*}
  Aligner les deuxiÃ¨me et troisiÃ¨me lignes de l'Ã©quation sur divers
  caractÃ¨res de la premiÃ¨re ligne afin que l'Ã©quation ne dÃ©passe pas
  les marges du document.
  \begin{sol}
    Les lignes de l'Ã©quation sont alignÃ©es juste Ã&nbsp; droite du premier
    symbole $+$ Ã&nbsp; la premiÃ¨re ligne. Remarquez l'usage des commandes
    \cmd{\cdots} et \cmd{\dots} dans la derniÃ¨re ligne: {\LaTeX}
    choisit correctement la position centrÃ©e des points entre les
    opÃ©rateurs d'addition, mais pas entre les accolades.
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  f(x +&amp; h, y + k) = f(x, y) +
    \left\{
    \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} h +
    \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} k
    \right\} \\
  &amp;+
    \frac{1}{2}
    \left\{
    \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} h^2 +
    \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} kh +
    \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} k^2
    \right\} \\
  &amp;+
    \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots +
    \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n.
\end{align*}
\end{lstlisting}
  \end{sol}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Composer Ã&nbsp; l'aide de l'environnement \Ie{cases}
  (\autoref{sec:math:delimiteurs}) la dÃ©finition de la fonction
  $\tilde{f}(x)$:
  \begin{equation*}
    \tilde{f}(x) =
    \begin{cases}
      0, &amp; x \leq c_0\\
      \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} =
      \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, &amp;  c_{j-1} &lt; x \leq c_j\\
      0, &amp; x &gt; c_r.
    \end{cases}
  \end{equation*}
  Il est nÃ©cessaire d'imposer la taille des fractions dans la seconde
  branche de la dÃ©finition Ã&nbsp; l'aide des fonctions de la
  \autoref{sec:math:bases:fractions}.
  \begin{sol}
    Il faut utiliser \cmd{\dfrac} pour obtenir des fractions dans une
    branche de \Pe{cases} de la mÃªme taille que dans une Ã©quation hors
    paragraphe:
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  \tilde{f}(x) =
  \begin{cases}
    0, &amp; x \leq c_0\\
    \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} =
    \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, &amp;
      c_{j-1} &lt; x \leq c_j \\
    0, &amp; x &gt; c_r.
  \end{cases}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
  \end{sol}
\end{exercice}

\begin{exercice}[nosol]
  Le fichier \fichier{exercice-mathematiques.tex} contient un exemple
  complet de dÃ©veloppement mathÃ©matique. Ã‰tudier le contenu du fichier
  puis compiler celui-ci tel quel avec {pdf\LaTeX} ou {\XeLaTeX}.
  Effectuer ensuite les modifications suivantes.
  \begin{enumerate}
  \item Charger le paquetage \pkg{amsfonts} dans le prÃ©ambule, puis
    remplacer \verb=$R^+$= par \verb=$\mathbb{R}^+$= Ã&nbsp; la ligne
    dÃ©butant par Â«Le domaineÂ».
  \item Dans l'Ã©quation du Jacobien de la transformation, remplacer
    successivement l'environnement \Ie{vmatrix} par %
    \Ie{pmatrix}, %
    \Ie{bmatrix}, %
    \Ie{Bmatrix} et %
    \Ie{Vmatrix}. Observer l'effet sur les dÃ©limiteurs de la matrice.
  \item Toujours dans la mÃªme matrice, composer successivement les
    deux fractions avec les commandes \cmd{\frac}, \cmd{\tfrac} et
    \cmd{\dfrac}. Observer le rÃ©sultat.
  \item RÃ©duire l'espacement de part et d'autre du symbole
    $\Leftrightarrow$ dans la seconde Ã©quation hors paragraphe.
  \item Ã€ l'aide de la fonction Rechercher et remplacer de l'Ã©diteur
    de texte, remplacer toutes les occurrences du symbole $\theta$ par
    $\lambda$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\Closesolutionfile{solutions}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "formation-latex-ul"
%%% TeX-engine: xetex
%%% coding: utf-8
%%% End:
</pre></body></html>